01 сентября 2024

Сколько чёрных троек возможно в игре мафия

При десяти игроках с позиции вашего красного цвета возможно 84 различных варианта для тройки чёрных игроков.

Каждый убитый игрок которого вы считаете красным (исключаете игру в самострел) значительно сужает число возможных комбинаций для тройки чёрных.

Так, после первого отстрела остаётся всего 56 варианта тройки чёрных игроков.

Как только за столом остаётся 6 игроков и ведущий не объявляет победу мафии на три-в-три игроки понимают, что за столом осталось только две мафии (и меньше), поэтому среди оставшихся игроков можно рассматривать только двойки чёрных игроков. В игре без промахов такое бывает при пяти игроках и с точки зрения вашего красного цвета возможно только шесть возможных двоек. (А в игре с промахом среди шести игроков для вас возможно 10 вариантов двоек.)

Когда за столом остаётся три или четыре игрока возможен лишь только вариант, что за столом остался последний чёрный. С вашего красного цвета последний чёрный игрок находится среди других игроков за столом.

Формула для расчёта числа чёрных троек

С точки зрения комбинаторики число чёрных троек — это число сочетаний (выборка без учёта порядка элементов) из n по k:

C(n, k) = n! / k!(n-k)!

где:

n — общее количество элементов (игроков за столом)

k — количество выбираемых элементов (чёрных игроков)

Так например при 10 игроках всего возможно 120 комбинаций чёрных троек:

C(10, 3) = 10! / 3!(10-3)! = 120

В случае если находитесь в игре то с точки зрения вашего красного цвета возможно лишь 84 чёрные тройки в игре:

C(9, 3) = 9! / 3!(9-3)! = 84

После первого отстрела число вариантов чёрных троек с вашего красного цвета становится равным 56:

C(8, 3) = 8! / 3!(8-3)! = 56

Когда за столом пять игроков то с вашего красного цвета возможно лишь 6 вариантов чёрных двоек:

C(4, 2) = 4! / 2!(4-2)! = 6

В сети существует множество готовых онлайн-калькуляторов для расчёта числа сочетаний, в которые можете подставить свои значения n и k и вы можете посчитать и другие варианты для различного числа игроков. Например вы можете задать запрос "combination 3 of 9" в wolframalpha, при этом вам перечислят не только само число и расчёт но и все эти 84 возможные комбинации.

Ещё по теме

См. Родион Попков "Учебник по игре за мирного в классическую Мафию" (глава 1.2.1), там написано примерно то же самое.

Ну и конечно же любой учебник по комбинаторике, главы про число сочетаний. Кратко эти сведения можно освежить в википедии в статье про сочетания.

Игра перебором троек

Человеческий мозг не может быстро обрабатывать большое число элементов, поэтому нет игроков кто уже в тройке сидит и считает 84 возможных комбинации чёрных, а потом вычёркивает из них отстрелы и сужает число вариантов.

Эти данные по числу троек и двоек нужны лишь для того, чтобы показать, что число вариантов не запредельно огромно: это не тысячи и не миллионы вариантов, а всего лишь порядка сотни.

Что снижает количество вариантов

Также подобные расчёты показывают насколько хороши те или иные тактические ходы, какой ход игры быстрее снижает число вариантов.

Любые гарантированные цвета отлично подходят для того, чтобы снизить число вариантов, как-то:

отстрел игрока (считая что мафия не стреляет по самим себе)
единственное вскрытие
игра в две версии (считая, что среди вскрывающихся точно есть один чёрный игрок и настоящий шериф)
двусторонний красный игрок (по проверкам обоих шерифов либо по ходам)
двусторонний чёрный игрок (по проверкам обоих шерифов либо по ходам)

Рассмотрим некоторые примеры более подробно.

Одношерифская

Наглядный пример. Первый убитый игрок вскрывается шерифом. В случае если никто больше не вскрылся шерифом, и шериф называет какого-то игрока (не вас) проверенным красным или проверенным чёрным, то у вас с вашего красного цвета остаётся либо C(7, 3) = 35 вариантов троек в случае красной проверки (вместо 56 игроков), либо только C(6, 2) = 15 вариантов троек в случае чёрной проверки. Как это считалось? В случае красной проверки вы ищете три мафии среди семи игроков (всего 9 игроков за столом, свой цвет вы знаете и знаете ещё один гарантированно красный цвет). А в случае чёрной проверки вы ищете двойку чёрных среди непонятных шести игроков (среди 9 игроков вы знаете свой красный цвет и гарантированно один чёрный цвет, к которому нужно найти ещё двойку среди оставшихся)

Две версии

Если в девятке помимо первого отстрела (гарантированно красный цвет, который сужает для вас число возможных троек с 84 до 56) вскроется два шерифа, то даже не называя свои проверки для вас уже будет точное понимание, что между вскрытиями есть один чёрный игрок, а значит число возможных троек сузится сразу до 15 вариантов: среди девяти игроков вы знаете свой красный цвет, среди оставшихся восьми игроков мы откидываем два вскрытия и нам остаётся найти двойку среди оставшихся шести игроков, то есть возможно C(6, 2) = 15 вариантов двоек к каждому из шерифов.

Можете на калькуляторе просчитать самостоятельно ситуацию, если вы являетесь шерифом игры, не умерли в первую ночь, не умер игрок которого вы проверили и против вас вскрылся В случае если вы являетесь шерифом, вы не умерли ночью, не умер игрок которого вы проверяли ночью и против вас вскрылся лжешериф.

Двусторонний красный

Рассмотрим пример, когда вы знаете свой красный цвет, в первую ночь отстрелился какой-то красный игрок и вскрылось два шерифа, у которых проверен один и тот же игрок — он тоже живой и оба шерифа дали его красным. В таком случае для вас необходимо найти две мафии среди пяти игроков то есть вы рассматриваете C(5, 2) = 10 вариантов возможных чёрных двоек.